Số Lucas

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L₀ = 2 và L₁ = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

L_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... (dãy số A000032 trong bảng OEIS)

Số Lucas có chỉ số âm

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại L_n-2 = L_n - L_n-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với $-5\leq {}n\leq 5$ ): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!$

Tính chất

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát của số Lucas:

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

với $\varphi$ bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, $L_{n}$ là số nguyên gần với $\varphi ^{n}$ nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

$\,L_{n}=F_{n-2}+F_{n}$
tổng quát hơn là công thức sau:

$L_{n}=F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}$ với mọi k<n; (2.1)

Chứng minh

Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

$L_{n}$

$=F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}$

$=F_{k+2}.(L_{n-k-1}+L_{n-k-2})+F_{k+1}.L_{n-k-1}$

$=(F_{k+2}+F_{k+1}).L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}$

$=F_{k+3}.L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}.$

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

$\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$ , từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số $L_{n} \over F_{n}\,$ tiến đến ${\sqrt {5}}\,$ khi $n\,$ tiến đến +∞.

Chứng minh

Sử dụng công thức tổng quát.

$\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$

Chứng minh

Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

$L_{n}F_{n}=(\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n})({{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}})$

Rút gọn lại được:

$L_{n}F_{n}=)({{\varphi ^{2n}-(1-\varphi )^{2n}} \over {\sqrt {5}}}=L_{2n}$

$\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

Chứng minh

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi chỉ số là số nguyên tố

L_n đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, L_n cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas

L_mn chia hết cho L_n nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để L_n là số nguyên tố.

Chứng minh

Sử dụng công thức tổng quát của $L_{n}$ , để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

$L_{mn+2n}=L_{mn}.L_{2n}-L_{|mn-2n|}(1)$

Từ đó suy ra:

$L_{3n}=L_{n+2n}=L_{n}.L_{2n}-L_{n}$

Suy ra $L_{3n}$ chia hết cho $L_{n}$ .

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra $L_{5n}$ chia hết cho $L_{n}$ .

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra $L_{(2k+1)n}$ chia hết cho $L_{n}$ , điều phải chứng minh.

Số nguyên tố Lucas

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... (dãy số A005479 trong bảng OEIS)

Nếu L_n là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.^[1]

Các số Lucas có dạng L_$2^{m}$ là số nguyên tố được biết cho đến nay là $m$ = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

$L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

L_{0}(x)=2\,

L_{1}(x)=x\,

L_{2}(x)=x^{2}+2\,

L_{3}(x)=x^{3}+3x\,

L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,

L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,

L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,

Xem thêm

Số Fibonacci

Chú thích

^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Lucas Number" từ MathWorld.
Dr Ron Knott Lưu trữ 2005-11-26 tại Wayback Machine
Lucas numbers and the Golden Section Lưu trữ 2005-10-30 tại Wayback Machine
A Lucas Number Calculator can be found here. Lưu trữ 2007-02-16 tại Wayback Machine
A Tutorial on Generalized Lucas Numbers

[1] Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

[1]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố