Số lập phương

y = x³ với giá trị 1 ≤ x ≤ 25.

Trong số học, lập phương của một số n có nghĩa là nhân 3 lần giá trị của nó với nhau:

n³ = n × n × n.

Hay cũng có thể hiểu là lấy tích của nó với bình phương của nó:

n³ = n × n².

Đây chính là công thức để tính thể tích cho một khối lập phương có chiều dài các cạnh là n.

Khối lập phương

Lập phương là một hàm lẻ:

(−n)³ = −(n³).

Biểu đồ của hàm lập phương f: x → x3 (hoặc phương trình y = x3) được biết đến như là hình parabê hình khối. Bởi vì lập phương là một hàm số lẻ, đường cong này có một điểm đối xứng ở gốc, nhưng không có trục đối xứng.

Lập phương của số nguyên

Lập phương của các số nguyên từ 0 đến 60 là:(dãy số A000578 trong bảng OEIS):

03 =	0
13 =	1	113 =	1331	213 =	9261	313 =	29,791	413 =	68,921	513 =	132,651
23 =	8	123 =	1728	223 =	10,648	323 =	32,768	423 =	74,088	523 =	140,608
33 =	27	133 =	2197	233 =	12,167	333 =	35,937	433 =	79,507	533 =	148,877
43 =	64	143 =	2744	243 =	13,824	343 =	39,304	443 =	85,184	543 =	157,464
53 =	125	153 =	3375	253 =	15,625	353 =	42,875	453 =	91,125	553 =	166,375
63 =	216	163 =	4096	263 =	17,576	363 =	46,656	463 =	97,336	563 =	175,616
73 =	343	173 =	4913	273 =	19,683	373 =	50,653	473 =	103,823	573 =	185,193
83 =	512	183 =	5832	283 =	21,952	383 =	54,872	483 =	110,592	583 =	195,112
93 =	729	193 =	6859	293 =	24,389	393 =	59,319	493 =	117,649	593 =	205,379
103 =	1000	203 =	8000	303 =	27,000	403 =	64,000	503 =	125,000	603 =	216,000

Nói theo hình học, một số nguyên dương m là một số lập phương hoàn hảo nếu và chỉ khi nào có thể sắp xếp các khối hình khối rắn thành một khối rắn lớn hơn. Ví dụ, 27 khối nhỏ có thể được sắp xếp thành một khối lớn hơn với sự xuất hiện của một khối rubic lập phương, từ 3 × 3 × 3 = 27.

Sự chênh lệch giữa lập phương của các số nguyên liên tiếp có thể được biểu diễn như sau:

n³ − (n − 1)³ = 3(n − 1)n + 1.

hoặc

(n + 1)³ − n³ = 3(n + 1)n + 1.

Không có số âm nào là số lập phương hoàn hảo, vì lập phương của một số âm là số âm. Ví dụ, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Chữ số tận cùng của lập phương số có chữ số tận cùng là 0-9:

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Tổng của lập phương n số đầu tiên

Tổng của lập phương n số đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đầu tiên:

$1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}=(C_{n+1}^{2})^{2}$ (1)

Trong đó, $C_{n+1}^{2}$ là tổ hợp chập 2 của n+1.

Công thức của Charles Wheatstone (1854):

$n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ so le lien tiep}}}.$

Để chứng minh công thức (1) chúng ta có thể dùng cách sau:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}$

Tổng của các lập phương lẻ đầu tiên

Tổng của n lập phương lẻ đầu tiên là số tam giác thứ 2n² − 1:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=2n^{4}-n^{2}=C_{2n^{2}}^{2}$

Trong đó, $C_{2n^{2}}^{2}$ là tổ hợp chập 2 của 2n².

Trong lý thuyết số

Bài toán Waring đối với số lập phương

Bài chi tiết: bài toán Waring

Mỗi số nguyên có thể viết thành tổng của chín (hoặc ít hơn) số lập phương nguyên dương. Giá trị chặn trên không thể giảm đi được bởi, ví dụ như 23 không thể viết thành tổng của ít hơn chín số lập phương:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Tổng của ba số lập phương

Bài chi tiết: Tổng của ba số lập phương

Hiện tại đang có giả thuyết số nguyên không đồng dư bằng ±4 với 9 có thể viết thành tổng của ba số lập phương trong vô hạn cách. Ví dụ, $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$. Các số nguyên đồng dư với ±4 modulo 9 không cần xét vì chúng không thể viết thành tổng của ba số lập phương.

Số nguyên dương nhỏ nhất mà chưa tìm được tổng là 114. Vào tháng chín năm 2019, số nguyên dương nhỏ nhất đứng trước không tìm được tổng, số 42, thỏa mãn phương trình:

$42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.$

Định lý cuối cùng của Fermat đối với lập phương

Phương trình x³ + y³ = z³ không có nghiệm nguyên khác không (tức xyz ≠ 0). Thậm chí, nó còn không có nghiệm dạng số nguyên Eisenstein.

Cả hai ý trên cũng đúng với phương trình x³ + y³ = 3z³.

Số thực, số phức

Cho hàm x ↦ x3: R → R. Chỉ có ba số bằng lập phương của chính mình: -1, 0, và 1. Nếu -1 <x <0 hoặc 1 <x, thì x³> x. Nếu x <-1 hoặc 0 <x <1, thì x³ <x. Tính chất nói trên cũng đúng với bất kỳ số mũ lẻ cao hơn (x⁵, x⁷,...) của số thực.

Với những số phức, lập phương của một số thuần ảo là: i³ = −i.

Lịch sử

Các nhà toán học Lưỡng Hà đã tạo ra các viên nén hình nêm với các bàn để tính các khối lập phương và các khối lập phương theo thời kỳ Babylon (thế kỷ XX đến XVI TCN). Phương trình bậc ba được nhà toán học người Hy Lạp cổ là Diophantus biết đến. Anh hùng của Alexandria đã nghĩ ra một phương pháp tính toán cội nguồn của lập phương vào thế kỷ đầu tiên của Công Nguyên. Phương pháp giải phương trình bậc ba và phép khai căn bậc ba xuất hiện trong cửu chương toán thuật, công trình toán học Trung Quốc được biên soạn vào khoảng thế kỷ thứ II trước công nguyên, được Lưu Huy chú giải vào thế kỷ thứ III của Công nguyên. Nhà toán học người Ấn Độ, Aryabhata đã viết một lời giải thích về lập phương trong nghiên cứu của ông. Trong năm 2010 Alberto Zanoni đã tìm ra một thuật toán mới để tính toán lập phương của một số nguyên dài trong một phạm vi nhất định, nhanh hơn gấp đôi.