Số gần nguyên tố

Trong lý thuyết số, một số tự nhiên được gọi là số gần nguyên tố bậc k nếu nó có k thừa số nguyên tố . ^[1] ^[2] ^[3] Chính thức hơn, một số n là số gần số nguyên tố bậc k khi và chỉ khi Ω(n) = k, trong đó Ω(n) là tổng số các số nguyên tố trong phép phân tích thừa số nguyên tố của n (cũng có thể được coi là tổng của tất cả các số mũ của số nguyên tố trong phân tích đó):

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{nếu}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

Do đó, một số tự nhiên là số nguyên tố khi và chỉ khi nó là số gần nguyên tố bậc 1, và là số nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó gần như là số gần nguyên tố bậc 2. Tập hợp số gần nguyên tố bậc k thường được ký hiệu là P_k. Số gần nguyên tố bậc k nhỏ nhất là 2^k . Các số gần nguyên tố có cùng bậc k đầu tiên là:

k	số gần nguyên tố bậc k	Dãy OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22,…	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30,…	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60,…	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112,…	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224,…	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448,…	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896,…	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728,…	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560,…	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120,…	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240,…	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480,…	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960,…	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920,…	A069276
16	65536, 98304, 147456,…	A069277
17	131072, 196608, 294912,…	A069278
18	262144, 393216, 589824,…	A069279
19	524288, 786432, 1179648,…	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296,…	A069281

Hàm π_k(n) đếm số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n với đúng k ước nguyên tố (không nhất thiết phải phân biệt) tiệm cận với : ^[4]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

kết quả của Landau. ^[5] Xem thêm định lý Hardy – Ramanujan.

Tham khảo

^ Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. tr. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.
^ Rényi, Alfréd A. (1948). “On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number”. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (bằng tiếng Nga). 12 (1): 57–78.
^ Heath-Brown, D. R. (tháng 5 năm 1978). “Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.
^ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.
^ Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. “§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ”. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 1. Chelsea Publishing Company. tr. 211.

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Almost prime" từ MathWorld.

[1] Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. tr. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.

[2] Rényi, Alfréd A. (1948). “On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number”. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (bằng tiếng Nga). 12 (1): 57–78.

[3] Heath-Brown, D. R. (tháng 5 năm 1978). “Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.

[4] Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.

[5] Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. “§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ”. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 1. Chelsea Publishing Company. tr. 211.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố