Đồ thị hàm gamma và các cách diễn tả mở rộng khác của giai thừa Trong toán học , giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên . Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa" , ký hiệu
n
!
{\displaystyle n!}
n số tự nhiên dương đầu tiên.
n
!
=
1
×
2
×
3
×
⋯
×
n
{\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \dots \times n}
Ví dụ:
7
!
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
=
5040
{\displaystyle 7!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7=5040}
5
!
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
=
120
{\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120}
Đặc biệt, với
n
=
0
{\displaystyle n=0}
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
tích rỗng .[ 1] n !Christian Kramp vào năm 1808 . Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp , vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm
n
{\displaystyle n}
Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp ) n! như sau
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1}
(
n
+
1
)
!
=
n
!
×
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)!=n!\times (n+1)}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn lũy thừa của 10 (
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
hàm mũ hai tầng (
a
b
c
{\displaystyle a^{b^{c}}}
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
.
{\displaystyle n!=n(n-1)!.}
log
a
(
n
!
)
=
∑
x
=
1
n
log
a
(
x
)
.
{\displaystyle \log _{a}{(n!)}=\sum _{x=1}^{n}\log _{a}(x).}
∫
1
n
log
x
d
x
≤
∑
x
=
1
n
log
x
≤
∫
0
n
log
(
x
+
1
)
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}
n
log
(
n
e
)
+
1
≤
log
n
!
≤
(
n
+
1
)
log
(
n
+
1
e
)
+
1.
{\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.}
e
(
n
e
)
n
≤
n
!
≤
e
(
n
+
1
e
)
n
+
1
.
{\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.}
n
!
≈
2
π
n
(
n
e
)
n
.
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Công thức Stirling ).
n
!
>
2
π
n
(
n
e
)
n
.
{\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
n
!
≈
2
π
(
n
+
1
3
)
1
3
(
n
+
1
3
e
)
(
n
+
1
3
)
(
∀
n
∈
R
,
n
≥
−
1
3
)
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi \left(n+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {n+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(n+{\frac {1}{3}}\right)}\qquad \left(\forall n\in \mathbb {R} ,n\geq -{\frac {1}{3}}\right)}
<
4
%
{\displaystyle <4\%}
ln
(
n
!
)
≈
n
ln
(
n
)
−
n
+
ln
(
n
(
1
+
4
n
(
1
+
2
n
)
)
)
6
+
ln
(
π
)
2
.
{\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln(n)-n+{\frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\ln(\pi )}{2}}.}
Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan .
C
n
k
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
(
0
<
k
≤
n
)
{\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}(0<k\leq n)}
A
n
k
=
n
!
(
n
−
k
)
!
(
0
<
k
≤
n
)
{\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}(0<k\leq n)}
Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.
Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?
Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Thụy Sĩ , Leonhard Euler đề ra. Hàm số này có dạng sau:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t}
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.}
Khi đó ta có:
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
.
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1).\,}
Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
n
+
k
)
{\displaystyle \Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}}
Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}}
Thay z = 1/2 ta thu được:
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}}
Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
(
m
−
1
)
/
2
m
1
/
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.}
Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:
Γ
(
1
2
+
n
)
=
(
2
n
)
!
4
n
n
!
π
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
=
π
⋅
[
(
n
−
1
2
n
)
n
!
]
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
4
)
n
n
!
(
2
n
)
!
π
=
(
−
2
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
π
=
π
/
[
(
−
1
2
n
)
n
!
]
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
Giai thừa với số thực. Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:
z
!
=
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
.
{\displaystyle z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}
Như vậy:
(
−
0
,
5
)
!
=
Π
(
−
1
2
)
=
Γ
(
1
2
)
.
{\displaystyle (-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.}
(
n
−
0
,
5
)
!
=
Π
(
n
−
1
2
)
=
Γ
(
n
+
1
2
)
.
{\displaystyle (n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}
(
−
n
−
0
,
5
)
!
=
Π
(
−
n
−
1
2
)
=
Γ
(
−
n
+
1
2
)
.
{\displaystyle (-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}
Ví dụ:
Γ
(
4.5
)
=
3.5
!
=
Π
(
3.5
)
=
1
2
⋅
3
2
⋅
5
2
⋅
7
2
π
=
8
!
4
4
4
!
π
=
105
16
π
≈
11.63.
{\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.}
Γ
(
−
2.5
)
=
(
−
3.5
)
!
=
Π
(
−
3.5
)
=
2
−
1
⋅
2
−
3
⋅
2
−
5
π
=
(
−
4
)
3
3
!
6
!
π
=
−
8
15
π
≈
−
0.9453.
{\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.}
Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức. Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:
Γ
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
k
)
(
1
)
k
!
z
k
−
1
,
{\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,}
với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:
n
{\displaystyle n}
g
n
{\displaystyle g_{n}}
Xấp xỉ
0
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
−
γ
{\displaystyle -\gamma }
−
0.5772156649
{\displaystyle -0.5772156649}
2
π
2
12
+
γ
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}}
0.9890559955
{\displaystyle 0.9890559955}
3
−
ζ
(
3
)
3
−
π
2
γ
12
−
γ
3
6
{\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}}
−
0.9074790760
{\displaystyle -0.9074790760}
Ở đây
γ
{\displaystyle \gamma }
hằng số Euler - Mascheroni còn
ζ
{\displaystyle \zeta }
hàm zeta Riemann .
.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nâng cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm với đó.
Cụ thể:
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
≈
g
(
z
)
=
{
1
1
+
π
arctan
(
3
2
z
)
100
z
2
π
(
z
+
1
3
)
1
3
(
z
+
1
3
e
)
(
z
+
1
3
)
,
∀
z
∈
C
,
ℜ
(
z
)
>
0.
π
z
sin
(
π
z
)
.
g
(
−
z
)
,
otherwise
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)\approx g(z)={\begin{cases}{\frac {1}{1+{\frac {{\sqrt {\pi }}\arctan \left({\frac {3}{2}}z\right)}{100z}}}}{\sqrt {2\pi \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}}\left({\frac {z+{\frac {1}{3}}}{e}}\right)^{\left(z+{\frac {1}{3}}\right)},&\forall z\in \mathbb {C} ,\Re (z)>0.\\{\frac {\pi z}{\sin(\pi z).g(-z)}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n #) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n . Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime factorial . Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:
2 , 6 , 30 , 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS ).Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:
Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2 .
n
!
!
=
{
1
,
khi
n
<=
1
;
n
(
n
−
2
)
!
!
khi
n
≥
2.
{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Ví dụ:
8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
n 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n!! 1
1
2
3
8
15
48
105
384
945
3840
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:
(
n
−
2
)
!
!
=
n
!
!
n
{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}
Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n = -1, -3, -5, -7,...là
1, -1, 1/3, -1/15... Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
n
!
=
n
!
!
(
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}
(
2
n
)
!
!
=
2
n
n
!
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}
(
2
n
+
1
)
!
!
=
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
)
!
!
=
(
2
n
+
1
)
!
2
n
n
!
{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}
Cũng nên phân biệt n !! với (n !)!.
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n !!!),bội bốn (n!!!! )....
Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n !(k ) , được định nghĩa đệ quy như sau
n
!
(
k
)
=
{
1
,
khi
0
≤
n
<
k
;
n
(
n
−
k
)
!
(
k
)
,
khi
n
≥
k
.
{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{khi }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995 ) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
s
f
(
4
)
=
1
!
×
2
!
×
3
!
×
4
!
=
288
{\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}
Tổng quát
s
f
(
n
)
=
∏
k
=
1
n
k
!
=
∏
k
=
1
n
k
n
−
k
+
1
=
1
n
⋅
2
n
−
1
⋅
3
n
−
2
⋯
(
n
−
1
)
2
⋅
n
1
.
{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là
1, 1, 2, 12 , 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 OEIS ) Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):
1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,... và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là
m
f
(
n
,
m
)
=
m
f
(
n
−
1
,
m
)
m
f
(
n
,
m
−
1
)
=
∏
k
=
1
n
k
(
n
−
k
+
m
−
1
n
−
k
)
{\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}}
trong đó
m
f
(
n
,
0
)
=
n
{\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
m
f
(
0
,
m
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1}
x
n
¯
=
x
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
⋯
(
x
+
n
−
1
)
=
(
x
+
n
−
1
)
!
(
x
−
1
)
!
{\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95632da26b256ee27faac11756cdd3d8f837f29)
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208fc44198d0e0c574af736a7e225462499eb8d)
.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
