Bất đẳng thức 2011.1 Van Khea[sửa | sửa mã nguồn]
Cho các số thực không âm
và
thoả mãn điều kiện
Thì:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}^{a_{1}}}{x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}}...x_{n}^{a_{n}}}}\geq a_{1}x_{1}-a_{2}x_{2}-a_{3}x_{3}-...-a_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81db4f1646de4b8eedbdfd903293b434a556cafc)
đẳng thức xảy ra khi
Đặt
và đặt
sau đó bất đẳng thức trên tương đương với:
![{\displaystyle {\frac {t_{1}}{t_{2}t_{3}...t_{n}}}\geq {\frac {t_{1}^{p_{1}}}{p_{1}}}-{\frac {t_{2}^{p_{2}}}{p_{2}}}-...-{\frac {t_{n}^{p_{n}}}{p_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844e1dce78b68732f34c54563bb10dd7326579b2)
- Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức AM-GM
- Cho n số
![{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}>0;n\in \mathbb {N} ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae91872ca190f47f061f83fcca6e192fc6cf19a)
- và các hệ số
![{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}>0\&a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1;n\in \mathbb {N} ^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e09f869280a05ed34f1377615ae6a79a3705682)
Thì ta được:
![{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{n}+...+a_{n}x_{n}\geq x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228fe48981c4decb85996f85cd571b5298ad36c)
- Giải
Ta có
- theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:
![{\displaystyle {\frac {(a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n})^{2}}{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}}}\geq 2(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n})-a_{1}x_{1}-a_{2}x_{2}-...-a_{n}x_{n}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69cc2d5ef8e14a0f4a9c5a216cd7031a66bb0fd4)
![{\displaystyle \Rightarrow a_{1}x_{1}+a_{2}x_{n}+...+a_{n}x_{n}\geq x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f61dd90d71dd4a8b1f30041c24f580c33ba864)
- Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức Holder
- Cho các số thực không âm
thì ta được:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}{\biggl )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{q}{\biggl )}^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43632fb02b5526331281c9edc827dae0afc4b785)
- Trong đó
![{\displaystyle p,q>0\&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7517edac5b49323144f34cdb11f8609b3b0c80)
- Giải
- Ta có
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\Leftrightarrow 2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa96434ca9cbcd8c528d8604d6eebd4664b6044)
Theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:
Đặt
thay vào ta được