Thành viên:Maiduyduy/thử

Bandt 12gon

Bandt 12 gon with exact overlap

HÌnh "Bandt 12 gon" là cách gọi ngắn gọn của Bandt 12 gon with exact overlap là một hình tự đồng dạng được các học trò và những người hâm mộ gọi theo tên của nhà toán học , giáo sư tiến sĩ Christoph Bandt là người tạo ra nó với cấu trúc exact overlap nghĩa là chờm lên nhau một cách chính xác. Bandt 12 gon gồm có 12 vòng có màu khác nhau chờm lên nhau và đồng dạng với cái hình lớn ngoài cùng. Cho dù đi sâu và chi tiết, phóng to vô hạn lần ở bất kỳ điểm nào của hình, chúng ta đều thấy cấu trúc giống hệt hình toàn thể.

Lịch sử

Trong hình học Fractal thì người ta quan tâm tới các hình tự đồng dạng. Hình tự đồng dạng là hình mà mỗi thành phần cấu tạo nên nó đều đồng dạng với cái toàn thể. Để biết được rõ ràng cấu trúc của nó như chiều và các tính chất topo người ta quan tâm tới các hình tự đồng dạng mà các thành phần của nó just touching (chạm nhau tại 1 điểm) hoặc exact overlap (chờm lên nhau một cách chính xác). Như hình vẽ này 12 vòng nhỏ, tạo nên vòng lớn, các vòng nhỏ đều giao với nhau một cách trùng khớp và chúng tự đồng dạng với vòng tròn lớn. Christoph Bandt tạo ra hình vẽ này và vào năm 2008 ở hội thảo về Fractal và waveles tại đại học Greifswald, Germany, lần đầu tiên hình vẽ này dùng làm logo trên thẻ tham dự của các đại biểu tham dự hội thảo về Fractal từ ngày 7 tới ngày 13 tháng 9 năm 2008.

Cấu trúc

Tập tự đồng dạng

Để tạo ra hình vẽ này, người ta sử dụng một hệ hàm lặp gọi là IFS. Hệ hàm lặp này là tập hợp các hàm co tiếng Anh gọi là Contraction mapping. Theo định lý Điểm bất động thì

Đối với 1 hàm co thì sẽ có 1 điểm cố định. Như vậy rất có lý nếu suy luận rằng đối với nhiều hàm co thì sẽ có 1 tập hợp các điểm cố định. Điều này được khẳng định bởi định lý của Hutchinson (1981). Tập hợp các điểm này làm thành một hình gọi là Attractor hay một tập tự đồng dạng ( Self-similar set ).

Hệ hàm lặp của Bandt 12gon

Hệ hàm lặp viết dưới dạng số phức

Bandt 12 gon được tạo bởi 12 hàm co với hệ số co giống nhau và bằng r=tang(pi/12) và tịnh tiến tới đỉnh của đa giác đều 12 đỉnh như vậy hệ IFS gồm 8 hàm như sau

$IFS=\{f_{k}(z)=rz+b_{k}\}$

Hệ hàm lặp viết dưới dạng ma trận

Barnsley's fern uses four affine transformations. The formula for one transformation is the following:

$f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$

Barnsley shows the IFS code for his Black Spleenwort fern fractal as a matrix of values shown in a table. In the table, the columns "a" through "f" are the coefficients of the equation, and "p" represents the probability factor.

Computer generation

Though Barnsley's fern could in theory be plotted by hand with a pen and graph paper, the number of iterations necessary runs into the tens of thousands, which makes use of a computer practically mandatory. Many different computer models of Barnsley's fern are popular with contemporary mathematicians. As long as the math is programmed correctly using Barnsley's matrix of constants, the same fern shape will be produced.

Syntax examples

You can use the below syntax to draw the fern yourself.

MATLAB

function Twelve_gon;

z=zeros (1,1222222);

r=tan(pi/12);

a1=cos(2*pi/12)+i*sin(2*pi/12);

a=repmat(a1,1,n).^(1:n);

lamda=repmat(r,1,n);

b=a-(a).*lamda;

hold off;

plot(0,'r.','MarkerSize',1)

hold on;

for n=2:length(z);

z(n)=r*z(n-1)+b(k(n));

end

axis equal

plot(z(k==1),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==2),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==3),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==4),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==5),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==6),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==7),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==8),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==9),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==10),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==11),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

plot(z(k==12),'.','Color',rand(3,1),'MarkerSize',1)

This mathlab code is written by duymt

Latex code

\documentclass[tikz,border=5mm]{standalone}

\begin{document}

\newcommand{\vongtron}[1]{

\ifnum#1=0

\else

\begin{scope}

\foreach \col[count=\i from 0] in {blue,yellow,red,green,brown,black,blue,yellow,red,green,brown,black}\draw[\col,ultra thin,fill=white] (\i *30:1) circle ({sin(15.55)});

\end{scope}

\pgfmathtruncatemacro{\k}{#1-1}

\foreach \i in {0,...,11}{

\begin{scope}[shift={(30*\i:1)},scale={sin(15.55)}]

\vongtron{\k}

\end{scope}

}

\fi

}

\begin{tikzpicture}

\vongtron{3}

\end{tikzpicture}

\end{document}

This Latex code written by BUI QUY