Thành viên:GoonWorm/nháp/Biểu diễn nhóm 2

Biểu diễn của một nhóm "tác dụng" lên một đối tượng. Các ví dụ đơn giản nhất là cách các đối xứng của một đa giác thông thường, bao gồm các phép đối xứng trục và quay, biến đổi đa giác ấy.

Trong lĩnh vực lý thuyết biểu diễn của toán học, biểu diễn nhóm mô tả các Nhóm (toán học) trừu tượng theo các biến đổi tuyến tính song ánh (tức là phép tự đẳng cấu) giữa các không gian vectơ; cụ thể, chúng có thể được sử dụng để biểu diễn các phần tử nhóm dưới dạng ma trận khả nghịch để toán tử của nhóm có thể được biểu diễn bằng phép nhân ma trận. Biểu diễn của các nhóm là quan trọng vì chúng cho phép các bài toán của lý thuyết nhóm được rút gọn thành các bài toán của đại số tuyến tính, vốn đã được hiểu rõ. Chúng cũng đóng vài trò quan trọng trong vật lý vì, ví dụ như, chúng mô tả các nhóm đối xứng của 1 hệ vật lý ảnh hưởng lên nghiệm của các phương trình mô tả hệ đó như thế nào.

Thuật ngữ biểu diễn của một nhóm cũng được sử dụng theo nghĩa tổng quát hơn để chỉ bất kỳ "mô tả" của một nhóm như là một nhóm các biến đổi của một số đối tượng toán học. Phát biểu theo cách hình thức hơn, một "biểu diễn" là một phép đồng cấu từ một nhóm vào nhóm tự đẳng cấu của một đối tượng. Nếu đối tượng là một không gian vectơ, chúng ta có một biểu diễn tuyến tính. Nhiều người gọi khái niệm tổng quát này là phép thể hiện và bảo lưu thuật ngữ biểu diễn để sử dụng cho trường hợp đặc biệt của các biểu diễn tuyến tính. Phần lớn của bài viết này mô tả lý thuyết biểu diễn tuyến tính; phần cuối cùng nói về các tổng quát hoá.

Các nhánh của lý thuyết biểu diễn nhóm

Các lý thuyết biểu diễn của các nhóm được chia thành các lý thuyết con, phụ thuộc vào loại nhóm mà nó biểu diễn. Nhiều lý thuyết rất khác biệt trong chi tiết, mặc dù các định nghĩa và khái niệm cơ bản tương tự nhau. Các nhánh quan trọng nhất là:

• Nhóm hữu hạn — Biểu diễn nhóm là một công cụ cực kỳ quan trọng trong nghiên cứu các nhóm hữu hạn. Nó cũng xuất hiện trong các ứng dụng của lý thuyết nhóm hữu hạn vào tinh thể học và hình học. Nếu trường vô hướng của không gian vectơ có đặc trưng p, và p quyết định thứ tự của nhóm, thì đây gọi là lý thuyết biểu diễn mô-đun; trường hợp đặc biệt này có những tính chất rất khác biệt. Xem Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn.