Thành viên:-lethobenthos/Luyện MathType trên Wikipedia

Thử nghiệm công cụ

Ở đây, ta sẽ thực hiện xét một bài toán như sau có thể sử dụng hai cách. Một là sử dụng tích phân hoặc ta sẽ sử dụng về phương trình vi phân xấp xỉ và công thức hình thang để giải:

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $R$; đồng thời thỏa mãn $f(1)=4$ và $f(x)+xf'(x)=4x^{3}-3x^{2}$, với mọi $x\in R$. Khi đó, $f(2)$ có giá trị gần nhất với số nguyên nào?

Giải

Cách sử dụng Phương trình vi phân xấp xỉ:

Ta có công thức của phương trình vi phân xấp xỉ như sau: $f(x_{0}+\delta x)=\delta x.f'(x_{0})+f(x_{0})$

Ở đây, ta xét biểu thức $f(x)+xf'(x)=4x^{3}-3x^{2}$, ta có: $f'(x)={\tfrac {4x^{3}-3x^{2}-f(x)}{x}}$. Sử dụng công thức của phương trình vi phân xấp xỉ, ta được:

$f(x_{0}+\delta x)=\delta x{\tfrac {4x^{3}-3x^{2}-f(x)}{x}}+f(x_{0})$. Mà, ta có: $f(1)=4$; chọn $\delta x=0,05$, ta có: $f(1,05)=0,05{\tfrac {4x^{3}-3x^{2}-f(x)}{x}}+4$. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính $f(2)$ nên ta cần thiết lập hệ thức truy hồi trên máy tính bỏ túi, để có thể liên tiếp các giá trị cho tới $f(2)$. Biểu thức truy hồi trên máy tính bỏ túi có dạng:

$x=x+0,05:y=0,05{\tfrac {4x^{3}-3x^{2}-y}{x}}+y$. Khởi tạo giá trị ban đầu với: $x=1$; $y=4$. Bấm liên tiếp cho tới khi màn hình hiển thị $x=2$, ta thu được kết quả xấp xỉ như sau: 6,240625 $={\frac {1997}{320}}$.

Vậy, đáp án thỏa mãn yêu cầu bài toán là 6.

Mẹo: Khi sử dụng phương pháp này (làm phần ghi đáp án trả lời thứ 3, trong đề kiểm tra yêu cầu giá trị chính xác), ta có thể giảm nhỏ giá trị của $\delta x$ xuống thành 0,01 để có kết quả là số gần đúng nhất. Tuy nhiên, việc giảm giá trị của $\delta x$ cũng sẽ tăng thời gian truy hồi trên máy tính. Ta chỉ nên giảm giá trị của $\delta x$ trong phòng thi khi và chỉ khi thời gian còn nhiều.

Tác giả của lời giải: 山田杏奈ー僕ヤバ