Tích chập

Tích chập của 2 xung vuông, kết quả sóng đầu ra có dạng tam giác.

Tích chập của 1 xung vuông với 1 đáp ứng xung của 1 mạch RC.

Trong toán học và đặc biệt là trong giải tích hàm, tích chập là 1 phép toán thực hiện đối với 2 hàm số f và g, kết quả cho ra 1 hàm số thứ 3. Phép tích chập khác với tương quan chéo ở chỗ nó cần lật kernel theo chiều ngang và dọc trước khi tính tổng của tích. Nó được ứng dụng trong xác suất, thống kê, thị giác máy tính (computer vision), xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, học máy, và các phương trình vi phân.

Định nghĩa

Tích chập của hàm số ƒ và g được viết là ƒ∗g, là 1 phép biến đổi tích phân đặc biệt:

$(f*g)(t)\ \ \,$	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau$
	$=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )\,g(\tau )\,d\tau .$       (giao hoán)

Một cách tổng quát, nếu f và g là hàm số phức trong không gian R^d, thì tích chập của chúng được định nghĩa như sau:

$(f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy.$

Hình ảnh minh họa tích chập.
Thể hiện mỗi hàm bằng một biến giả $\tau .$ Lấy đối xứng hàm qua trục tung: $g(\tau )$→$g(-\tau ).$ Thêm biến thời gian, t, cho phép $g(t-\tau )$ trượt dọc theo trục $\tau$. Bắt đầu t từ -∞ và trượt đến +∞.

Tích chập tuần hoàn

Nếu hàm số g_T tuần hoàn với chu kỳ $T>0$, và hàm f sao cho ƒ∗g_T tồn tại, thì tích chập của chúng cũng tuần hoàn với chu kỳ T và được định nghĩa như sau:

$(f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,$

Với t_o là giá trị tùy ý.

Tích chập rời rạc

Với các hàm số phức f và g xác định trên tập số nguyên Z, thì tích chập của chúng được định nghĩa:

$(f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]$

$=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m].$       (time-shift)

Tính chất

Đại số

Tích chập được định nghĩa là 1 phép toán trên không gian khả tích của các hàm tuyến tính, cho nên nó có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Giao hoán

$f*g=g*f\,$

Kết hợp

$f*(g*h)=(f*g)*h\,$

Phân phối

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\,$

Kết hợp với phép nhân vô hướng

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,$, với giá trị ${a}\,$ là một số phức bất kỳ.

Tham khảo

• Bracewell, R. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (ấn bản thứ 2), McGraw–Hill, ISBN 0071160434.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract harmonic analysis. Vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 115 (ấn bản thứ 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-09434-0, MR 0551496.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0262773.
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., 256, Springer, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
• Kassel, Christian (1995), Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics, 155, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94370-1, MR 1321145.
• Knuth, Donald (1997), Seminumerical Algorithms (ấn bản thứ 3), Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
• Rudin, Walter (1962), Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 12, Interscience Publishers (a division of John Wiley and Sons), New York–London, ISBN 047152364X, MR 0152834.
• Sobolev, V.I. (2001), “Convolution of functions”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0849382734.
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (ấn bản thứ 2), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (xuất bản 1986), ISBN 978-0828403245.
• Uludag, A. M. (1998), “On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution”, J. Math. Anal. Appl. 227 no. 2, 335–358
• Treves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, ISBN 0486453529.
• von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.
• Diggle, P. J. (1995), “A kernel method for smoothing point process data”, Journal of the Royal Statistical Society, Series C) 34 (1985) 138–147

Liên kết ngoài

• Earliest Uses: The entry on Convolution has some historical information.
• Convolution Lưu trữ 2006-02-21 tại Wayback Machine, on The Data Analysis BriefBook Lưu trữ 2006-05-12 tại Wayback Machine
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Visual convolution Java Applet.
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Visual convolution Java Applet for discrete-time functions.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution., by Alan Peters.
  • http://www.vuse.vanderbilt.edu/~rap2/EECE253/EECE253_01_Intro.pdf Lưu trữ 2009-03-24 tại Wayback Machine
• Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial
• Convolution at MathWorld
• Freeverb3 Impulse Response Processor: Opensource zero latency impulse response processor with VST plugins
• Stanford University CS 178 interactive Flash demo showing how spatial convolution works.