Rack và quandle

Trong toán học, rack và quandle là các tập hợp với các phép toán hai ngôi thỏa mãn các tiên đề tương tự như các thao tác Reidemeister - các thao tác được sử dụng để biến đổi các nút thắt.

Dù các thao tác này được sử dụng chủ yếu để thu được các bất biến của nút thắt, ta cũng có thể hiểu chúng dưới dạng các cấu trúc đại số. Cụ thể, định nghĩa của một quandle tiên đề hóa các tính chất của liên hợp trong một nhóm.

Lịch sử

Vào năm 1943, Mitusiha Takasaki (高崎光久) giới thiệu một cấu trúc đại số mà ông đặt tên là Kei (圭), sau này được gọi là một quandle tự nghịch. Mục đích của ông là tìm kiếm một cấu trúc đại số không giao hoán để miêu tả phép đối xứng trục trong hình học hữu hạn. Ý tưởng này được khám phá lại và tổng quát hóa trong một cuộc trao đổi vào năm 1959 giữa John Conway và Gavin Wraith, khi hai người còn theo học Đại học Cambridge. Định nghĩa hiện đại của quandle và rack cũng xuất hiện ở đây. Wraith đã quan tâm đến những cấu trúc này khi còn đang theo học. Conway đặt tên chúng là wracks, một phần là để chơi chữ với tên của người đồng nghiệp, và phần còn lại là vì những cấu trúc này xuất hiện từ tàn dư ('wrack and ruin") của một nhóm sau khi loại bỏ cấu trúc nhân và chỉ giữ lại cấu trúc liên hợp. Ngày nay, cách đánh vần "rack" đã trở nên phổ biến hơn.

Những cấu trúc này xuất hiện trở lại vào những năm 1980: trong một bài báo năm 1982 của David Joyce (nguồn gốc của từ "quandle"), trong một bài báo năm 1982 của Sergei Matveev (dưới cái tên groupoid phân phối) và trong một bài báo hội thảo năm 1986 bởi Egbert Brieskorn (dưới cái tên tập hợp tự đẳng cấu). Một tổng quan chi tiết về rack và ứng dụng trong lý thuyết nút thắt có thể được tìm thấy trong bài báo của Colin Rourke và Roger Fenn.

Rack

Một rack có thể được định nghĩa là một tập hợp với một phép toán hai ngôi $\triangleleft$ thỏa mãn luật tự phân phối: với mọi $a,b,c\in \mathrm {R}$:

$a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$

và với mọi $a,b\in \mathrm {R} ,$ tồn tại duy nhất $c\in \mathrm {R}$ sao cho

$a\triangleleft c=b.$

Định nghĩa này gọn và thông dụng, nhưng không tối ưu vì nó bao gồm một lượng từ tồn tại không cần thiết (tồn tại duy nhất $c\in \mathrm {R}$). Để tránh điều này, ta có thể viết $c\in \mathrm {R}$ sao cho $a\triangleleft c=b$ nếu $b\triangleright a.$ Khi đó ta có:

$a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,$

suy ra

$a\triangleleft (b\triangleright a)=b,$

và

$(a\triangleleft b)\triangleright a=b.$

Từ đây ta có thể định nghĩa rack là một tập hợp R với hai phép toán hai ngôi $\triangleleft$ và $\triangleright$ sao cho với mọi $a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}$

1. $a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)$ (luật tự phân phối trái)
2. $(c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)$ (luật tự phân phối phải)
3. $(a\triangleleft b)\triangleright a=b$
4. $a\triangleleft (b\triangleright a)=b$

Ta cũng có thể phát biểu rằng phần tử $a\in \mathrm {R}$ đang tác động từ bên trái trong phép toán $a\triangleleft b,$ và tác động từ bên phải trong phép toán $b\triangleright a.$ Tiên đề rack thứ ba và thứ tư phát biểu rằng các tác động từ bên trái và từ bên phải là nghịch đảo của nhau. Từ định nghĩa này, ta có thể loại bỏ một trong hai tác động này khỏi định nghĩa của rack. Nếu ta loại bỏ tác động bên phải và giữ tác động bên trái, ta thu được định nghĩa gọn gàng ban đầu.

Có nhiều cách kí hiệu khác nhau được sử dụng để mô tả rack và quandle. Nhiều tác giả chỉ thích làm việc với tác động từ bên phải. Hơn nữa, $\triangleleft$ và $\triangleright$ cũng không phải cách viết phổ quát: nhiều tác giả sử dụng cách viết lũy thừa

$a\triangleleft b={}^{a}b$

và

$b\triangleright a=b^{a},$

trong khi nhiều tác giả khác viết

$b\triangleright a=b\star a.$

Lại một định nghĩa tương đương nữa của rack: rack là một tập hợp mà mỗi phần tử tác động từ bên phải và bên trái như các phép tự đẳng cấu của tập hợp đó, và tác động bên trái là nghịch đảo của tác động bên phải. Định nghĩa này mô tả được luật tự phân phối từ cả hai bên, và thêm những hệ quả của chúng dưới đây:

${\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}$

Quandle

Một quandle được định nghĩa là một rack lũy đẳng, $\mathrm {Q} ,$ sao cho với mọi $a\in \mathrm {Q}$$a\triangleleft a=a,$

hoặc tương đương,

$a\triangleright a=a.$

Ví dụ và ứng dụng

Có thể dựng được một quandle từ một nhóm bất kì bằng phép liên hợp

${\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{aligned}}$

Thực tế, phép liên hợp thỏa mãn mọi luật phương trình sinh ra từ các tiên đề của quandle. Vậy nên ta có thể coi quandle như tàn dư của một nhóm sau khi loại bỏ phép nhân, phần tử đơn vị và nghịch đảo, và chỉ nhớ phép liên hợp.

Mọi nút đa giác (tame knot, hay polygonal knot) trong không gian ba chiều có một 'quandle cơ bản'. Để định nghĩa được nó, ta để ý rằng nhóm cơ bản của phần bù của nút, hay nhóm nút, có một biểu thị (presentation) (biểu thị Wirtinger), trong đó chỉ tồn tại các quan hệ có liên hợp. Do đó, biểu thị này cũng có thể được dùng làm biểu thị của một quandle. Quandle cơ bản là một bất biến rất mạnh của các nút. Cụ thể, nếu hai nút có quandle cơ bản đồng cấu thì tồn tại một phép đồng phôi trong không gian Euclid 3 chiều, biến một nút thành nút còn lại (nhưng có thể đảo ngược hướng)

Ta cũng có thể thu được các bất biến yếu hơn nhưng dễ tính toán hơn của một nút bằng cách đếm các phép đồng cấu từ quandle nút đến một quandle cố định $\mathrm {Q} .$ Vì biểu thị Wirtinger có một phần tử sinh cho mỗi sợi trong một biểu đồ nút, những bất biến này có thể được tính toán bằng cách đếm số cách gán cho mỗi nhóm một phần tử của $\mathrm {Q} ,$ với một vài giới hạn nhất định. Ta cũng có thể dựng những bất biến phức tạp hơn theo kiểu này nhờ sự trợ giúp của đối đồng điều quandle.

Các Alexander quandle cũng quan trọng vì chúng có thể được sử dụng để tính toán các đa thức Alexander của một nhóm. Gọi A là một module trên vành $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ của đa thức Laurent trong một biến. Khi đó, Alexander quandle là quandle thu được từ việc cho A một tác động trái:

$a\triangleleft b=tb+(1-t)a.$

Rack là một cách tổng quát hóa hữu dụng của quandle trong ngành tô pô, vì trong khi quandle có thể thẻ hiện các nút thắt từ các vật thể tròn và tuyến tính (như sợi chỉ hay dây thường), rack có thể thẻ hiện các ruy băng, những vật thể có thể bị xoắn và thắt nút.

Một quandle $\mathrm {Q}$ được gọi là tự nghịch nếu với mọi $a,b\in \mathrm {Q} ,$

$a\triangleleft (a\triangleleft b)=b$

hay tương tự,

$(b\triangleright a)\triangleright a=b.$

Mọi không gian đối xứng đều sinh ra một quandle tự nghich, với tác động trái $a\triangleleft b$ được định nghĩa là kết quả của việc "lấy đối xứng của $b$ qua $a$"

Xem thêm

• Biracks và biquandles
• Bảng Laver