Hypocycloid

Hypocycloid là một đường cong được tạo ra bởi một điểm P trên một vòng tròn (màu đỏ) tâm B, và bán kính b viết tắt là (B,b) khi nó lăn quanh bên trong một vòng tròn (màu xanh lá cây) cố định khác (O, a) với a > 0. Nếu vị trí ban đầu của P có toạ độ là (a, 0) và tham số t được chọn như trong Hình 1 bên dưới thì các phương trình tham số của hypocycloid có toạ độ là $x=(a-b)\cos(t)+b\cos({\cfrac {a-b}{b}}t),y=(a-b)\sin(t)-b\sin({\cfrac {a-b}{b}}t)$ trong đó a và b là các số hữu tỷ và b > a> 0.

Nếu vòng tròn màu đỏ được lăn quanh bên ngoài của một vòng tròn cố định, thì điểm P trên vòng tròn đỏ sẽ tạo ra một đường cong được gọi là epicycloid. Các phương trình tham số tiêu chuẩn của epicycloids là $x=(a+c)\cos(t)-c\cos({\cfrac {a+c}{c}}t),y=(a+c)\sin(t)-c\sin({\cfrac {a+c}{c}}t)$ trong đó a và c là các số hữu tỷ và a > c >0. Ở đây c là bán kính của vòng tròn bên ngoài đang được di chuyển. Một epicycloid là một hypocycloid như một trường hợp của Định lý 1 dưới đây.

Định lý 1: Với bất kỳ số hữu tỉ a, b và a> 0, hypcycloid [a, b, t] là một epicycloid nếu b <0 hoặc b> a.

Vì epicycloid là một dạng của hypocycloid, chúng thừa hưởng tất cả các đặc tính được thảo luận dưới đây từ hypocycloids.

Tính chất:

Định lý 2: Nếu [a, b, t] là hypocycloid và được tạo ra bởi một điểm P cố định trên đường tròn (B, | b |) lăn quanh một vòng tròn (O, a), trong đó a và b là số hữu tỉ khác không và a> 0. Nếu b / a = r / s, trong đó s và r nguyên tố cùng nhau với ước số chung lớn nhất là (s, r) = 1, thì:

1. s là số giao điểm của hypocycloid và đường tròn (O, a). Những giao điểm này được gọi là điểm đỉnh (cusp) của hypo/epicycloid.

2. 2π r là chu kỳ của hypocycloid.

Định lý Thế hệ kép: Đối với bất kỳ hypocycloids [a, b, t] và [a, b’, w] trong đó a, b, b’ là các số nguyên dương. Nếu b’ + b = a thì hai hypocycloids trùng nhau.

Nói chung, nếu b’/a = r’/s, b/a = r/s và r’ + r = s, thì chúng có cùng một hình dáng. Các tỷ lệ như vậy được gọi là đồng tỷ lệ (co-ratio) của hypocycloids s đỉnh điểm. Tuy nhiên, hướng của đi của điểm P trong hai đồ thị này là ngược nhau. Nếu cả hai đều bắt đầu tại (a, 0), điểm P của một hình di chuyển theo chiều kim đồng hồ và điểm P của hình kia di chuyển ngược chiều kim đồng hồ.

Hypocycloid là một dạng của hypotrochoid.

Tham khảo