Hình học liên tục

Hình học liên tục, giới thiệu bởi von Neumann (1936, 1998), là vật thể toán học mà các chiều của không gian con thay vì là 0, 1,..., n, thì có thể là một số thuộc khoảng đơn vị [0,1].

Định nghĩa

Một hình học liên tục là một dàn L với các tính chất:

• L modular.
• L đầy.
• Các phép toán trên dàn ∧, ∨ có tính chất:

  $(\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha })\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)$, với A là một tập có hướng và nếu α < β thì a_α < a_β. Tương tự cho ∧ và ∨.

• Mỗi phần tử trong L có một phần bù (không nhất thiết độc nhất). Phần bù của phần tử a là b với a ∧ b = 0, a ∨ b = 1, với 0 và 1 là phần tử min và max của L.
• L bất khả quy, tức 0 và 1 là phần tử duy nhất có phần bù độc nhất.

Chú thích

• Birkhoff, Garrett (1979) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, 25 (ấn bản thứ 3), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630
• Bản mẫu:Eom
• Halperin, Israel (1960), “Introduction to von Neumann algebras and continuous geometry”, Canadian Mathematical Bulletin, 3: 273–288, doi:10.4153/CMB-1960-034-5, ISSN 0008-4395, MR 0123923
• Halperin, Israel (1985), “Books in Review: A survey of John von Neumann's books on continuous geometry”, Order, 1 (3): 301–305, doi:10.1007/BF00383607, ISSN 0167-8094, MR 1554221
• Kaplansky, Irving (1955), “Any orthocomplemented complete modular lattice is a continuous geometry”, Annals of Mathematics, Second Series, 61 (3): 524–541, doi:10.2307/1969811, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969811, MR 0088476
• Neumann, John von (1936), “Continuous geometry”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 22 (2): 92–100, doi:10.1073/pnas.22.2.92, ISSN 0027-8424, JSTOR 86390, Zbl 0014.22307
• Neumann, John von (1936b), “Examples of continuous geometries”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 22 (2): 101–108, doi:10.1073/pnas.22.2.101, JFM 62.0648.03, JSTOR 86391, PMC 1076713, PMID 16588050
• Neumann, John von (1998) [1960], Continuous geometry, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174
• Neumann, John von (1962), Taub, A. H. (biên tập), Collected works. Vol. IV: Continuous geometry and other topics, Oxford: Pergamon Press, MR 0157874
• Neumann, John von (1981) [1937], Halperin, Israel (biên tập), “Continuous geometries with a transition probability”, Memoirs of the American Mathematical Society, 34 (252), ISBN 978-0-8218-2252-4, ISSN 0065-9266, MR 0634656
• Skornyakov, L. A. (1964), Complemented modular lattices and regular rings, London: Oliver & Boyd, MR 0166126