Hình học Diophantos

Hình học
Hình chiếu một mặt cầu lên mặt phẳng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều / số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov

Trong toán học, hình học Diophantos / hình học Diophantine là các nghiên cứu về các điểm của các đa tạp đại số có tọa độ là các số nguyên, số hữu tỷ và khái quát của chúng. Các khái quát này thường là các trường không đóng đại số, chẳng hạn như trường số, trường hữu hạn, trường hàm và trường p -adic (nhưng không phải là số thực được sử dụng trong hình học đại số thực). Nó là một nhánh con của hình học số học và là một cách tiếp cận lý thuyết về phương trình Diophantos, hình thành các bài toán về các phương trình như vậy với thuật ngữ hình học đại số.

Một phương trình đơn giản tương ứng với một siêu mặt, và các phương trình Diophantine đồng thời làm phát sinh một đa tạp đại số V trên K; câu hỏi điển hình là về bản chất của tập hợp V(K) của các điểm trên V với tọa độ trong K và bằng các hàm số chiều cao, các câu hỏi định lượng về "kích thước" của các lời giải này có thể được đặt ra, cũng như định tính các vấn đề về bất kỳ điểm nào tồn tại, và nếu vậy liệu có một số lượng vô hạn nghiệm hay không. Với cách tiếp cận hình học, việc xem xét các phương trình đồng nhất và tọa độ đồng nhất là cơ bản, vì những lý do tương tự mà hình học chiếu là phương pháp chủ đạo trong hình học đại số. Do đó, các giải pháp số hợp lý là sự cân nhắc chính; nhưng các giải pháp tích phân (ví dụ các điểm mạng tinh thể) có thể được xử lý theo cách tương tự như một đa tạp affine có thể được xem xét bên trong một giống chiếu có thêm điểm ở vô cực.

Cách tiếp cận chung của hình học Diophantine được minh họa bằng định lý Faltings (một phỏng đoán của L. J. Mordell) nói rằng một đường cong đại số C của chi g > 1 so với các số hữu tỷ chỉ có một số hữu hạn các điểm hữu tỷ. Hệ quả đầu tiên của định lý này có thể là định lý của Hilbert và Hurwitz xử lý trường hợp g = 0. Lý thuyết này bao gồm cả các định lý và nhiều giả thuyết và các câu hỏi mở.

Sách tham khảo

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Diophantine geometry”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Đọc thêm

• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logarithmic Forms and Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 9. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004.
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.