Bất đẳng thức Harnack

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.

Cho $D=D(z_{0},R)$ là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi $z\in D$. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi $z\in D$:

$0\leq f(z)\leq \left({\frac {R}{R-\left|z-z_{0}\right|}}\right)^{2}f(z_{0}).$

Đối với miền tổng quát $\mathbf {R} ^{n}$ bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu $u(x)$ là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, $\omega$ là một miền bị chặn với ${\bar {\omega }}\subset \Omega$, thì sẽ có một hằng số $C$ không phụ thuộc vào $\Omega$ sao cho $\sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)$.