Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học , định lý cộng hàm cầu điều hòa , còn gọi là định lý cộng Legendre , được phát biểu như sau:
Nếu góc γ được định nghĩa thông qua {θ 1 ,φ 1 } và {θ 2 ,φ 2 } bằng:
cos(γ ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sin(θ 1 ) sin(θ 2 ) cos(φ 1 - φ 2 )
Thì đa thức Legendre với biến γ sẽ thỏa mãn:
P
l
(
cos
γ
)
{\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )\,}
=
4
π
2
l
+
1
∑
m
=
−
l
l
(
−
1
)
m
Y
l
m
(
θ
1
,
ϕ
1
)
Y
l
−
m
(
θ
2
,
ϕ
2
)
{\displaystyle ={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta _{1},\phi _{1})Y_{l}^{-m}(\theta _{2},\phi _{2})}
=
4
π
2
l
+
1
∑
m
=
−
l
l
Y
l
m
(
θ
1
,
ϕ
1
)
Y
¯
l
−
m
(
θ
2
,
ϕ
2
)
{\displaystyle ={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}(\theta _{1},\phi _{1}){\overline {Y}}_{l}^{-m}(\theta _{2},\phi _{2})}
=
P
l
(
cos
θ
1
)
P
l
(
cos
θ
2
)
+
2
∑
m
=
1
l
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
θ
1
)
P
l
m
(
cos
θ
2
)
cos
m
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
{\displaystyle =P_{l}(\cos \theta _{1})P_{l}(\cos \theta _{2})+2\sum _{m=1}^{l}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos \theta _{1})P_{l}^{m}(\cos \theta _{2})\cos {m(\phi _{1}-\phi _{2})}}
Ở đây,
P
l
{\displaystyle P_{l}\,}
P
l
m
{\displaystyle P_{l}^{m}}
đa thức Legendre và đa thức Legendre liên quan .
Định lý này được chứng minh bằng việc dùng hàm Green cho tổng các hàm điều hòa cầu và cân bằng tổng này với hàm sinh của đa thức Legendre .
Arfken, G. "The Addition Theorem for Spherical Harmonics." §12.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 693–695, 1985. 
