Định lý cơ bản của các nhóm cyclic

Trong đại số trừu tượng, định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Chứng minh

Giả sử $G=\left\langle a\right\rangle$ là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử $a\in G$. Giả sử $H\,$ là nhóm con của $G\,$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $H\,$ là cyclic. Nếu $H=\{e\}\,$ thì $H=\left\langle e\right\rangle \,$. Nếu $H\neq \{e\}\,$ thì vì $G\,$ là cyclic nên mọi phần tử trong $H\,$ có dạng lũy thừa $a^{t}\,$, trong đó $t\,$ là số nguyên dương. Đặt $m\,$ là số nguyên dương nhỏ nhất mà $a^{m}\in H$.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng $H=\left\langle a^{m}\right\rangle \,$. Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng $\left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H$.

Để chứng tỏ $H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle$ chúng ta giả sử $b\in H$. Vì $b\in G$ ta có $b=a^{k}\,$ với một số nguyên dương nào đó $k\,$. Theo thuật toán chia, $k=mq+r\,$ với $0\leq r<m\,$, và do đó $a^{k}=a^{mq+r}=a^{mq}a^{r}\,$, từ đó $a^{r}=a^{-mq}a^{k}\,$. Bây giờ vì $a^{k}\in H$ và $a^{-mq}=(a^{m})^{-q}\in H$, nên $a^{r}\in H$. Nhưng $m\,$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^{m}\in H$ và $0\leq r<m\,$, nên $r=0\,$ và do đó $b=a^{k}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in \left\langle a^{m}\right\rangle$. Như vậy $H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle$.

Vì $H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle$ và $\left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H$ nên $H=\left\langle a^{m}\right\rangle$ và như vậy $H\,$ là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của $G\,$ là một ước của $n\,$. Giả sử $H\,$ là một nhóm con bất kỳ của $G\,$. Ta luôn có thể viết $H=\left\langle a^{m}\right\rangle$, trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^{m}\in H$. Vì $e=a^{n}=a^{m}\,$ nên $n=mq\,$ với số nguyên $q\,$ nào đó. Như vậy $m|n\,$.

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử $k\,$ là một ước nguyên dương của $n\,$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $\left\langle a^{n/k}\right\rangle$ và chỉ nó là nhóm con $\left\langle a\right\rangle$ cấp $k\,$. Chú ý rằng $\left\langle a^{n/k}\right\rangle$ có cấp ${n \over {gcd(n,{n \over {k}})}}={n \over {n \over k}}=k\,$. Đặt $H\,$ là nhóm con bất kỳ của $\left\langle a\right\rangle$ có cấp $k\,$. Ta biết rằng $H=\left\langle a\right\rangle$, trong đó $m\,$ là ước của $n\,$. Như vây $m=gcd(n,m)\,$ and $k=|<a^{m}>|=|a^{m}|=|a^{gcd(n,m)}|={n \over {gcd(n,m)}}={n \over m}\,$. Từ đó $m={n \over k}\,$ và như vậy $H=\left\langle a^{n \over k}\right\rangle$. Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung

Giả sử $G=<a>$ là một nhóm cyclic, và $H$ là một nhóm con của $G$. Ta xác định một ánh xạ $\phi :\mathbb {Z} \rightarrow G$ nhờ $\phi (n)=a^{n}$. Vì $G$ là cyclic sinh bởi $a$, nên $\phi$ là toàn ánh. Đặt $K=\phi ^{-1}(H)\subseteq \mathbb {Z}$. $K$ là nhóm con của $\mathbb {Z}$. Vì $\phi$ là toán ánh, nên thu hẹp của $\phi$ trên $K$ xác định một toàn cấu từ $K$ lên $H$, và do đó $H$ là đẳng cấu với một nhóm thương của $K$. Vì $K$ là một nhóm con của $\mathbb {Z}$, $K$ là $n\mathbb {Z}$ với số nguyên $n$ nào đó. Nếu $n=0$, thì $K={0}$, từ đó $H={0}$, là nhóm cyclic. Nếu khác đi, $K$ đẳng cấu với $\mathbb {Z}$. Do đó $H$ là đẳng cấu với một thương của $\mathbb {Z}$, và chắc chắn là cyclic.

Xem thêm

• Nhóm cyclic