Định lý Bolzano–Weierstrass

Trong toán học và đặc biệt là giải tích thực, định lý Bolzano-Weierstrass (tiếng Anh: Bolzano-Weierstrass theorem, đặt theo tên hai nhà toán học là Bernand Bolzano và Karl Weierstrass) là một định lý quan trọng về sự hội tụ trong không gian Euclid hữu hạn chiều $\mathbb {R} ^{n}$. Định lý này phát biểu rằng mọi dãy số thực bị chặn trong $\mathbb {R} ^{n}$ đều tồn tại một dãy con hội tụ.

Ta cũng có một phát biểu tương đương là một tập con của $\mathbb {R} ^{n}$ là tập compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.

Lịch sử và tầm ảnh hưởng

Định lý Bolzano-Weierstrass được đặt tên dựa theo hai nhà toán học là Bernand Bolzano người Tiệp Khắc và Karl Weierstrass người Đức. Định lý này được chứng minh lần đầu bởi Bolzano vào năm 1817 như là một bổ đề trong chứng minh về định lý giá trị trung gian. Khoảng năm mươi năm sau, định lý này lại được chứng minh một lần nữa bởi Weierstrass, người đã phát hiện ra tầm quan trọng của nó. Từ đó, định lý này trở thành một trong những định lý quan trọng của giải tích.

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh định lý này trên trường số thực $\mathbb {R} ^{1}$ trước. Nhưng để chứng minh, ta cần sử dụng bổ đề sau đây:

Bổ đề: Mõi dãy số thực $(x_{n})$ đều tồn tại một dãy con đơn điệu (tức là một dãy con, hoặc không tăng hoặc không giảm).